Nociones de Lógica Proposicional

El Monopuerco FATEDE , en un rato de ociosidad se inventó la siguiente frase
"Pienso, luego no quiero existir"

¿Qué piensan, hagan sus comentarios?

Además, nos recomienda la película de Inframundo

Nociones de Lógica Proposicional

 

Para iniciarse en el estudio formal de las matemáticas, a veces es recomendable empezar estudiando unas cuantas ideas de lógica simbólica que para esta pequeña sección entenderemos como el manejo de las proposiciones y sus conectivos.

Una proposición es un enunciado al que le podemos asignar un valor como verdadero (1) o falso (0)

Ejemplo:

Hoy llueve

Abrir una puerta

Ser devorado por un tigre

Las cuales podemos representar por las letras L, P, T respectivamente.

Definición. - Un lenguaje proposicional consta de una colección de letras proposicionales y de símbolos lógicos

Estos enunciados pueden ser verdaderos o falsos, y si uno es verdad entonces su negación será falsa, y esto nos lleva a tener un símbolo especial que nos indique precisamente eso, y lo llamaremos negación que se denota como ¬  

Ejemplo: 

Si queremos plasmar todos los posibles valores de una proposición y de su negación, estaremos haciendo su tabla de verdad

A continuación, se presenta la conjunción de 2 proposiciones, que en lenguaje natural sería la "y", y para nuestro lenguaje proposicional utilizaremos el símbolo ∧ veamos estos ejemplos

Abrir una puerta Y ser devorado por un tigre        P∧T

Hoy llueve Y abrir una puerta                               L∧P

    La tabla de verdad que son todos los posibles valores de las proposiciones con este conectivo es:

Toca el turno a la disyunción que tiene el símbolo ∨ y hace las veces del "o" en el lenguaje natural, con tabla de verdad:

es importante destacar que este el "o inclusivo", es decir que es verdadero si ambas son verdaderas, como por ejemplo en una cuenta mancomunada en un banco.

Ejemplo: Sean Arturo y Bianca que tienen una cuenta juntos en el banco y hubo un retiro, entonces esto sería verdad en cualquiera de los siguientes casos:

A = Arturo saque dinero 

B = Bianca saque dinero

Arturo saque dinero o Bianca NO saque dinero     A∨¬B

Arturo NO saque dinero o Bianca saque dinero     ¬A∨B

Arturo saque dinero o Bianca saque dinero           A∨B

Pero es Falso en este caso 

Arturo NO saque dinero o Bianca NO saque dinero   ¬A∨¬B

Pero normalmente en el lenguaje natural aparece otro tipo de "O" que se conoce como "O exclusivo" en el que para que este sea verdad solo se da si solo una de las 2 proposiciones son verdad, no las dos al mismo tiempo.

Ejemplo: El caso de las chicas de Archie, Betty y Verónica, él se puede casar con una, pero no con las dos al mismo tiempo.

Archie se casa con Betty o con Verónica, pero no con ambas

Este "o exclusivo" o disyunción exclusiva, tiene su propia tabla de verdad y símbolo (⊻), pero normalmente no se usan, ya que como se verá posteriormente se puede llegar al mismo resultado de otra manera. 

    El siguiente conectivo que veremos será la implicación consiste de dos partes el antecedente y el consecuente

    Dado P→Q decimos que, P es el antecedente y Q el consecuente y la tabla de verdad está dada por:

Es notorio que cuando el antecedente es falso, no importa ya si el consecuente es falso o verdadero, pues la implicación siempre será verdadera en este caso, a veces no es fácil entenderlo, se puede argumentar que si parto de algo falso la consecuencia de esto ya no importa por lo que la implicación es verdadera, y aunque se pueden hacer argumentos muy válidos en contra, son ya objeto de otros tipos de lógicas y recordemos que aquí se está estudiando la lógica proposicional clásica que se basa en esta tabla de verdad.

En los siguientes ejemplos se tratará de argumentar un poco más sobre este hecho.

Ejemplos:

Pensemos que estamos en un cuarto con una puerta y detrás de esta hay un tigre hambriento.

Abrir la puerta  = P

Ser devorado por un tigre = T

P→Q

1. Si abro la puerta entonces me devora un tigre
2. Si abro la puerta entonces me no devora un tigre
3. Si no abro la puerta entonces me devora un tigre
4. Si no abro la puerta entonces no me devora un tigre
5. Si mi abuelita tiene ruedas entonces soy bicicleta
6. Si mi abuelita tiene ruedas entonces NO soy bicicleta

Los 2 primeros casos no deben de haber ningún problema en interpretar su verdad o falsedad

En el tercero y el cuarto nótese que al NO abrir la puerta ya no tiene sentido preguntarse qué pasa con el consecuente, pues el individuo que lo hace no va a morir no importando que sucede después de que NO abra la puerta

Algo similar sucede en el caso de que mi abuelita tenga ruedas, ya no importa que tenga como consecuente, es absurdo y se da como verdad, como darle por su lado a un demente.

Por último, presentemos la doble implicación, pero en este caso en particular la definiremos en función de otros conectivos.

Definición. - La doble implicación que denotaremos como P↔Q y se entenderá como: 

                     (P→Q) ∧(Q→P) es decir, tenemos dos implicaciones que se aplican a dos proposiciones en ambas direcciones con tabla de verdad 

es decir, la doble implicación es verdad, solo si ambas proposiciones son verdaderas o   falsas al mismo tiempo