Coeficientes Binomiales y Teorema del Binomio

Los coeficientes binomiales son números que aparecen en la expansión de un binomio elevado a un potencia n

Para potencias pequeñas, los cálculos son sencillos, pero al ir incrementando, las multiplicaciones que se tienen que hacer tienden a complicarse, afortunadamente presentan un muy bonito patrón que desde el Siglo XI, y tal vez antes se ha plasmado en varios diagramas como el de Yang Hui, en el libro "El espejo precioso de los cuatro elementos C. 1303" donde se muestran los coeficientes binomiales, como los enseño el académico chino Jian Xian alrededor de 200 años antes

Podemos ver que para obtener el n-simo renglón es necesario saber el (n-1)-ésimo, pues la suma de 2 coeficientes adyacentes nos da como resultado un coeficiente del renglón inferior, como podemos ver en la siguiente imagen.

A este arreglo triangular se le llama "Triangulo de Pascal" en honor al brillante matemático Blaise Pascal (1623 - 16620), que fue no el descubridor, pero si quien estudio muy detenidamente muchas de las propiedades de este especial arreglo triangular.

Este método nos da rápidamente los números deseados, pero el problema principal es que, para calcular coeficientes de potencias muy altas, digamos, por ejemplo

Necesitamos calcular todos los renglones anteriores. Para evitar este problema pensemos de una manera combinatoria.

Tomemos de ejemplo n=4, sabemos que:

para obtener el producto tenemos que multiplicar las primeras a y b por todas las otras a´s y b´s de todas las formas posibles, que en total serian 16 factores.

Ilustremos los que estamos diciendo identificando a cada una de las a´s y b´s con un subíndice.

Si solamente nos fijamos en las a´s

El primer término responde a la pregunta ¿De cuantas maneras podemos tomar 4 elementos de un conjunto de 4 elementos?

De lo que sabemos de combinatoria podemos responder a esta pregunta, con el concepto de combinaciones de n en k, que se simbolizan como

Para nuestro caso sería: 

Los siguientes 4 términos responderían a la pregunta ¿De cuantas maneras podemos tomar 3 elementos de un conjunto de 4 elementos?

Siguiendo de esta manera y ordenando podemos llegar a la siguiente tabla:

Parece que vamos por buen camino, falta ahora ver que las combinaciones de n en m cumplen con la propiedad aditiva de Pascal

En efecto, las combinaciones cumplen con la Identidad de Pascal, lo que transforma la visualización del triángulo de coeficientes a:

Una identidad que es fácil de visualizar y es muy útil, es la de simetría, que enunciaremos en la siguiente:

Todo lo que hemos visto hasta ahora, nos lleva a presentar el:

Demostración. - Por inducción sobre n

Para n=1

Suponemos que el resultado es verdad para n y demostramos para n+1

Por la hipótesis inductiva, se tiene que:

Aplicando la propiedad distributiva

Reescribiendo índices y sacando términos

Aplicando la identidad de Pascal

Que es precisamente el resultado que buscamos.

Un par de consecuencias directas de este Teorema son:

Se puede interpretar como el hecho de que la suma de un renglón completo del triángulo de Pascal es igual a 2ⁿ, pero también si recordamos que las combinaciones de n en m es la cardinalidad de los subconjuntos de tamaño m de un conjunto de tamaño n, el corolario nos dice que el número total de estos subconjuntos de un conjunto finito de n elementos es también 2ⁿ.

Esta propiedad nos dice que la suma alternada de cualquier renglón del triángulo de Pascal es igual a cero.

El teorema del Stick de Hockey

Este resultado conocido también como el teorema del Boomerang, dice que cualquier número del triángulo de Pascal es la suma de la diagonal que se encuentra encima de este, de ahí el nombre pues se asemeja a un Stick de Hockey

Para cada número tenemos 2 posibles sumas una diagonal hacia la derecha y la otra con diagonal izquierda.

Veamos un ejemplo numérico para fijar ideas.

En cualquier caso, las sumas diagonales derecha parecen obtenerse con:

Y las izquierdas usando 

Suponiendo que estas fórmulas sean ciertas se puede ir de una a otra manipulando los índices de la suma y haciendo uso de que las combinaciones son simétricas.

En virtud de este resultado con probar cualquiera de las 2 sumas diagonales tendremos ya ambos casos.

Polinomios y Coeficientes Binomiales

Directo de la definición de coeficiente binomial se puede ver que

es un polinomio de grado k con coeficiente en k igual a 1

Este hecho nos lleva a proponer un teorema que relaciona los polinomios con coeficientes enteros de grado n y los coeficientes binomiales