Sumatoria y Series Finitas

En las matemáticas intermedias y superiores hace su aparición el símbolo de sumatoria, (Sigma mayúscula) que es una letra del alfabeto griego.

Esta letra representa la suma de cierta sucesión de números, a estos se les llaman sumandos, y pueden ser una cantidad finita o infinita, pero para los fines de esta entrada solo abordaremos la situación en la que tenemos un numero finito de sumandos y algunas de sus propiedades.

Normalmente se ponen subíndices arriba y abajo del símbolo que nos indican en donde empezar y terminar.

Supongamos que tenemos la siguiente sucesión, y queremos sumarlos todos.

es decir:

Haciendo uso del símbolo sumatorio tenemos que:

Con este manejo de subíndices tenemos 2 casos extremos que hay que tomar en cuenta.

El primero es cuando solo sumamos un término, y el segundo es cuando sumamos k unos.

Veamos ahora las siguientes propiedades, que no son todas las que hay, pero si las más importantes, y con las que seguramente se pueden demostrar otras más.

1.- Multiplicación por escalares.

2.- Un rápido corolario.

3.- Abre sumas y restas.

4.- Translación de los índices.

5.-Particion de la suma

6.- Conmutatividad de Sumatorias

7.- Asociatividad de la sumatoria.

Series aritméticas

Definición. - Una sucesión de números (en general enteros), tales que la diferencia entre cualesquiera dos de ellos que sean contiguos es constante, se conoce como sucesión aritmética

Ejemplos. -

*) Probablemente una de las sucesiones aritméticas más comunes es:

1,2,3,4,5,6,...pues la diferencia entre 2 números consecutivos es 1.

que podemos expresar de manera compacta como:

{i}=1,2,3,...,i,i+1,...n,n+1...

y i+1-i=1

**) 2,5,8,11,....

{2+3(i-1)}=2,5,...,2+3(i-1),2+3i,...

con (2+3i)-(2+3(i-1))=3

Lo que queremos ahora es encontrar la suma de un numero finito de números consecutivos de una serie aritmética con termino general dado por: {a+k(i-1)}

Para esto utilizaremos el método que se dice utilizo el pequeño Carl Gauss cuando en la primaria su maestro le dio la tarea de sumar los n primeros números (aquellos del primer ejemplo) y llego en unos cuantos minutos a la formula, que resolvía, el problema planteado y mas

Esto es:

S=1+2+3+....+100

pero también

S=100+99+98+...+1

Sumando termino a termino

2S=101+101+101+...+101

2S=100(101)

S=((100(101))/2)= 5050

Sin realizar mayor esfuerzo, usando la "técnica" de Gauss podemos demostrar que:

Para una serie aritmética general se tendría que:

Concluimos

Hemos demostrado entonces que:

Teorema. - La suma de n términos consecutivos de una serie aritmética está dada por:

la suma de los primeros n primeros términos de una sucesión aritmética es igual a n por la suma del primer término y el ultimo termino, entre dos.

Ejemplo. -

Dadas las sucesiones de pares e impares, la suma de los n primeros términos es muy fácil de calcular

Ejemplo. -

Cualquier sucesión de múltiplos de algún número son también una sucesión aritmética

Sucesión Cuadrática y su Suma

En la sección anterior vimos que el termino general de una sucesión aritmética esta dado por una ecuación de primer grado

Entonces generalizando una sucesión cuadrática tendrá su término general dado por una ecuación de segundo grado.

Notemos que la diferencia de dos términos consecutivos está dada por:

Pero la segunda diferencia es

Entonces en una sucesión cuadrática la primera diferencia es una sucesión aritmética

Si tenemos una sucesión donde la segunda diferencia es una constante, se tiene entonces una sucesión cuadrática y para obtener la representación del término general tendremos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Ejemplo. - consideremos la sucesión: 2,6,12,20,30,42,56

calculemos las diferencias

Con los datos obtenidos, planteemos el sistema de ecuaciones y obtengamos las soluciones.

En la siguiente figura podemos ver una interpretación geométrica de la sucesión

Ejercicio. -

Ahora consideremos

T_{n} = {1,3,6,10,15, 21, ...}

Realizando los mismos pasos que en el ejercicio anterior.

Este último resultado debe de ser familiar pues:

Una interpretación geométrica de la sucesión estaría dada por:

Para poder calcular la suma de un numero finito de términos de una sucesión cuadrática, iniciemos con una de las sucesiones más simples donde a=1, b=c=0, es decir

Si calculamos la primera diferencia de esta sucesión, nos daremos cuenta de una interesante propiedad, la diferencia de 2 cuadrados consecutivos es siempre un número impar

y como era de esperarse la segunda diferencia es siempre constante.

No olvidemos que queremos calcular

Esta serie se puede reescribir de una forma que sepamos manejar, para esto veamos como la suma de cada número cuadrado n² se puede escribir como la suma de n veces n.