Axiomas de los números naturales y sus consecuencias

Los axiomas o Postulados de Peano son la base para describir las propiedades de los números naturales, fueron publicados alrededor de 1889 por el matemático italiano Giuseppe Peano,

Giuseppe Peano (1858 - 1932)

Al paso de los años se han mantenido casi sin cambios, aunque hay que hacer notar que dependiendo de la construcción o formación matemática el 0 puede o no pertenecer a los naturales, esto implicaría que en el caso de que el 0 no sea considerado natural el primer natural es el 1.

Para la siguiente exposición consideraremos al cero como parte del conjunto de los naturales y enunciaremos los postulados de la siguiente manera.

Comentando un poco sobre los Axiomas podemos decir que el primero nos asegura que existe un numero natural.

El 2 nos asegura la existencia de un único sucesor para cada natural, más aún, esto nos permite darles nombre a los sucesores.

 

El axioma 3 nos arroja como consecuencia que el cero, es el "inicio" de la lista de números naturales, esta idea se puede extender después a lo que se conoce como Principio del Buen Orden.

También nos asegura que los números naturales no son cíclicos 

El cuarto axioma aunado al segundo nos asegura que si 2 números naturales son iguales entonces sus sucesores son iguales y viceversa.

Y finalmente el Axioma 5, el Principio de Inducción Matemática (PIM) es la herramienta más utilizada para demostrar propiedades de los números naturales el cual podemos interpretar que dada una proposición, si mostramos que es válida para la primera pieza de domino (el cero) , suponemos que es válida para n piezas, (colocamos n piezas en fila) y demostramos que si colocamos una más todas las piezas caen (S(n)), entonces todas las filas de domino que nos imaginemos caerán empujando la primera pieza.

Suma de Números Naturales

En esta sección definiremos la primera operación entre naturales, que es la suma y veremos sus propiedades.

Una de las primeras consecuencias de esta definición está dada por la siguiente:

Es casi seguro que todos conocemos las propiedades más importantes de la suma de naturales, pero con el siguiente Teorema las enunciaremos de una forma más acorde a lo que hemos visto y además las demostraremos.

Para poder realizar comentarios sobre la demostración del teorema y que esta no se perciba tan larga, se realizará en cuatro partes, una por cada propiedad, la herramienta que utilizaremos será el principio de inducción matemática (PIM).

En esta demostración debió ser notorio que se justificaron a detalle todos los pasos, esto lo iremos disminuyendo en las demostraciones posteriores, ya que algunos pasos son muy similares, esto permitirá una mayor rapidez en la exposición.

Antes de realizar la demostración de la conmutatividad veamos un par de lemas que nos ayudaran mucho.

Hemos demostrado que en los naturales el 0 es un elemento neutro derecho e izquierdo.

Con este último lema tenemos 2 representaciones diferentes de S(n)=n+1=1+n.

Después de este pequeño interludio podemos continuar con las demostraciones faltantes

Y finalmente 

Con esta última demostración ya hemos visto como desde los Axiomas de Peano se pueden obtener todas las propiedades básicas de la suma de números naturales.

Para cerrar esta sección demos un ejemplo práctico de cómo se usa la definición recursiva de la suma

Este último axioma, dice que todo conjunto no vacío de naturales siempre tiene un número más pequeño, una base, por decirlo así, lo más interesante es que esto es equivalente al principio de inducción matemática (PIM), que dice:

Sea P(n) una cierta propiedad para cada natural n

Si 

i)  P (0) es cierta y

ii) Suponiendo que P(k) es cierta se puede demostrar que P(S(k)) lo es 

entonces P es cierta para todos los Naturales

Procedamos a demostrar la última afirmación, esto lo haremos en dos partes, primero:

PBO implica PIM

Demostración. - 

Suponemos el PBO

Y dada una propiedad P(n) tal que 

Entonces por PBO este conjunto tiene un elemento mínimo llamémoslo s*

 

Demostremos ahora la otra implicación

PIM implica PBO

Demostración. - 

Tenemos como hipótesis el PIM y supongamos que:

QED

Para terminar el tema digamos que el principio de inducción lo podemos interpretar como si la propiedad que queremos demostrar en los naturales fueran un conjunto de piezas de domino acomodadas para caer, tenemos que tener una pieza inicial (el 1) y dada la n-esima pieza la n+1-esima pieza tiene que acomodarse bien para que pueda darse la secuencia de caída.

Si todo está bien acomodado la propiedad será verdad para todas las piezas (los naturales).

Ejemplos

Dada la siguiente proposición

Demostrémosla usando el PIM