Numeros Decimales
Es bien sabido que tenemos una notación posicional que utilizamos para nuestro sistema numérico, esto quiere decir que dependiendo la posición del digito en la cifra tiene asociado una potencia de 10.
Extra. -
tales que: p=qs+r y 
donde las incógnitas son las
Para resolver esto notemos en primer lugar que sí multiplicamos por 10 ambos lados de la igualdad se tienen lo siguiente.
Y aplicando el algoritmo de la división a la pareja (10p,q)
esto implicaría que
esto implicaría que el
de esta forma aparece el ciclo infinito.
Ejemplo:
341.678
De manera general podemos decir que cualquier número finito está representado por:
Ejemplo:
si dividimos expresión general en 2 partes tenemos:
La parte entera es siempre racional, pero la parte fraccional o expansión decimal es otra historia, de hecho, se pueden identificar tres casos
1) el n en la suma es finito
2) n es infinito pero la expansión decimal tiene un ciclo infinito, es decir es de la forma:
notemos que en este caso la notación de la izquierda nos da más información que el uso de la suma, pues podemos ver claramente cuál es el ciclo infinito y donde empieza.
Al multiplicar por un uno "especial" podemos ver que:
Un corolario de este resultado es el hecho de que los números que tienen el periodo 
tienen dos representaciones diferentes.
tienen dos representaciones diferentes.
3) el numero q tiene una expansión decimal infinita pero NO es periódica, esto implica que q es un numero irracional.
Esta última aseveración merece una demostración y será como un corolario del siguiente:
Teorema. - Un numero a < 1 es racional si y solo si su expansión decimal es finita o periódica
Demostración. - Con 1) y 2) hemos demostrado la implicación en la dirección 
, para la otra dirección haremos uso de un resultado conocido como el algoritmo de la división que dice que:
, para la otra dirección haremos uso de un resultado conocido como el algoritmo de la división que dice que: Dados 2 enteros p y q, con 
tales que: p=qs+r y Luego sabemos que a es racional entonces queremos mostrar que:
o que:
en cualquiera de los 2 casos queremos resolver una ecuación del tipo
donde las incógnitas son las
Para resolver esto notemos en primer lugar que sí multiplicamos por 10 ambos lados de la igualdad se tienen lo siguiente.
esto implicaría que
Si sucede que
entonces ya habremos acabado pues la expansión decimal seria finita, si 
,entonces volvemos a aplicar el mismo razonamiento.
entonces ya habremos acabado pues la expansión decimal seria finita, si 
,entonces volvemos a aplicar el mismo razonamiento.Para el i-esimo paso tenemos que hacer la siguiente observación
es decir las r solo pueden tomar un numero finito de valores por esta razón si 
en algún momento se tendrán que repetir, supongamos que
es decir las r solo pueden tomar un numero finito de valores por esta razón si 
en algún momento se tendrán que repetir, supongamos que
seria
QED
Corolario.- Inciso 3)
QED
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Yo socio Monopuerco después de mucha meditación opino: