Los números de Fibonacci
La Presentación Clásica
Leonardo de Pisa (1170-1250) llamado Fibonacci (hijo de Bonaccio) en su libro titulado "Liber Abaci (1228)" propone el siguiente problema:
Tenemos un par de conejos recién nacidos y los llevamos a un lugar cerrado.
Este par y cualquier otro, tienen un par de conejos cada mes empezando desde el segundo mes de vida.
¿Cuántos pares de conejos habrá al mes, a los 2 meses... al año?
Para resolver este problema supongamos que nos regalan al par de conejos en el mes de Enero y construyamos la siguiente tabla
Por pura inspección se puede deducir una formula recursiva para el n-simo numero de Fibonacci como:
Los primeros 40 números de Fibonacci
Para cerrar esta sección demostremos la siguiente:
Presentaciones Alternas
Acharya Pingala (c. 200 A.C.) fue un matemático y poeta, autor del libro Chandahsutra que se puede considerar un tratado de prosodia sanscrita, para los fines de este articulo entenderemos por prosodia a una rama de la lingüística que analiza formalmente aquellos elementos de la expresión oral tales como el acento, los tonos y la entonación.
En este tratado se puede encontrar una fórmula para las métricas o estructura rítmicas básicas de un verso, el cual está conformado por unidades llamadas "moras", que en el caso del sanscrito son de dos tipos, la corta que representaremos con un 1 y la larga con un 2
Y así sucesivamente, después de una rápida inspección visual podremos decir que:
El número de formas de formar una silaba de n "Moras" es precisamente Fn-1
Esta forma de ver la sucesión de Fibonacci es equivalente a contar de cuantas maneras diferente se puede subir una escalera de n peldaños subiendo a pasos de 1 o 2 escalones a la vez, llamemos a este número An
Para hacer explicita la aparición de los números de Fibonacci notemos que An se obtiene de la siguiente manera:
Extensión a índices negativos.
Con la relación de recursión básica podemos obtener los índices negativos, de la siguiente manera:
Y así sucesivamente, por lo que:
Pero podemos llegar aún más lejos con la siguiente
Demostración. - Por inducción, para n=-1
Primeras relaciones.
Sumas de números de Fibonacci consecutivos
Dada la expresión
queremos encontrar su suma, para esto usaremos, primeramente, la relación básica de recursión de donde se tiene que:
a continuación, ordenemos los términos que queremos sumar de la siguiente manera
Si sumamos las 2 columnas obtenemos de un lado de la igualdad la suma que estamos buscando y del otro una suma telescópica, que se puede simplificar fácilmente
hemos entonces demostrado que:
El triángulo de Pascal y los Números de Fibonacci.
Es de sobra conocido el triángulo de Pascal que entre muchas de sus propiedades tiene una en la que aparecen los números de Fibonacci
Si hacemos la suma de los dígitos a lo largo de las siguientes diagonales obtendremos la sucesión de números de Fibonacci.
A veces para facilitar la visualización de estas diagonales, se hace un pequeño reacomodo del triángulo.
Si ahora transformamos los números de las diagonales a sus correspondientes coeficientes binomiales tendremos que:
Podemos ahora dar forma a la siguiente proposición
Demostración.-
Una parte central para la prueba es la conocida identidad de Pascal dada por
Se hará inducción sobre n
Para n = 1
Nuestra hipótesis inductiva será suponer que la proposición es verdad para k<n y demostremos para n
Partiendo de la relación básica de recurrencia
Caso 1.-
Caso 2.-
Un gran y útil resultado que en el que podemos encontrar a los números de Fibonacci esta dado por el siguiente:
Demostración. - La prueba se hará por inducción sobre n, y tomaremos como base n=2
Debe de ser claro que este resultado es cierto para las raíces de
es importante destacar que este par de raíces poseen algunas propiedades por demás interesantes como:
Usando estas propiedades y el resultado del lema anterior tendremos que:
Razón de números de Fibonacci Consecutivos.
El número 
se conoce como el numero dorado, el cual es irracional y tiene una gran importancia en varias áreas de las matemáticas, se puede considerar un miembro de ese conjunto de constantes importantes como, 
se conoce como el numero dorado, el cual es irracional y tiene una gran importancia en varias áreas de las matemáticas, se puede considerar un miembro de ese conjunto de constantes importantes como, 
Otra propiedad que relaciona a los números de Fibonacci con el numero áureo, tiene que ver con la razón entre dos números consecutivos, enunciémosla como teorema.
Un resultado que se utilizara para la demostración del teorema es el hecho de que la sucesión de Fibonacci es divergente, lo cual de manera intuitiva debe ser evidente, pero es un buen ejercicio realizar la prueba.
Gracias a este resultado, la demostración del teorema de las razones de números consecutivos de Fibonacci será ya muy fácil de realizar.
En la imagen podemos ver la alternancia que nos dice el teorema, pero se deja de apreciar muy rápido ya que la convergencia de la sucesión es muy veloz.
Fórmula de Binet
Teorema 2.- El n-esímo numero de Fibonacci se puede obtener con la fórmula
substrayendo el primero menos el segundo
Para fines de cálculo numérico la Formula de Binet de índices muy grandes puede llegar a causar problemas, para esto se puede hacer una aproximación de los números de Fibonacci con términos de una serie geométrica.
Demostración.- Primero demostremos que:
Esto es válido desde N=1, pues según el resultado anterior se tiene que:
En el siguiente grafico los diamantes azules son los resultados que se obtienen con la fórmula de Binet, es decir los números exactos y la gráfica naranja es la función exponencial dada por que es la aproximación, como esperábamos la diferencia es mínima y mientras n va creciendo son prácticamente iguales
La diferencia entre los puntos n naturales es siempre estrictamente menor que 1/2 y esta diferencia disminuye rápidamente, en el siguiente grafico podemos ver la diferencia entre los primeros 20 números de Fibonacci y su aproximación a 4 decimales.
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Yo socio Monopuerco después de mucha meditación opino: