Geometría Finita, planos proyectivos

En general cuando estudiamos geometría estamos acostumbrados a dar por hecho la existencia de un número infinito de puntos y rectas, pero y qué tal si esto no fuera así, que tuviésemos un número finito de rectas y puntos y solamente unas cuantas formas de que estos entes se relacionan, esto en efecto existe y son las llamadas geometrías finitas.

De entre estas las que más destacan son los llamados planos proyectivos que podríamos definir como:

Plano proyectivo de orden q consiste en un conjunto X de  elementos llamados “puntos” y L un subconjunto de subconjuntos de X:

a los elementos de este conjunto L llamaremos “rectas” o "líneas", con la propiedad de que 2 puntos determinan una única recta.

Con la anterior definición podemos ya demostrar el siguiente

Teorema:

En un plano proyectivo de orden q se cumplen las siguientes proposiciones:

1. Cualquier punto esta en q+1 rectas

2. 2 rectas se intersecan en un único punto

3.  

Demostración. -

a) Sea p un punto tal que hay una recta L que NO contiene a p, como cada recta contiene q+1 puntos por cada uno de estos y el punto p determinamos q+1 rectas únicas y diferentes, tales que en todas se encuentra el punto p

b) Sean dos rectas diferentes, ahora tomemos por el resultado obtenido en el inciso a)  p y determinan q+1 rectas y por lo tanto debe de ser una de estas y sin perder generalidad el punto , por lo que 2 rectas se intersecan en único punto.

c) Sabemos que cada 2 puntos determinan una única recta así que si primero

contamos todas las posibles combinaciones notemos que estamos contando de más, para evitar estos sabemos que cada recta tiene q+1 puntos

así que si tomamos

y hacemos el cocienteobtenemos precisamente lo que queremos demostrar

Para q= 1 tenemos que: así que el plano proyectivo estaría dado por:

Tenemos en efecto

3 puntos 

3 rectas

Por cada punto pasan q+1=2 rectas

Y cada recta tiene q+1=2 puntos

Para q=2 tenemos al plano de Fano

Y para q=3 se tiene el plano proyectivo de orden 3

La pregunta seria si para cualquier q en los naturales se tiene un plano proyectivo, esto se responde parcialmente con el teorema de Bruck- Ryser  el cual se abordará en un post posterior

Referencias:

Cameron, P. J. (1994). Combinatorics: Topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press.

Gentile, E. R. (1988). Planos proyectivos finitos y el teorema de Bruck y Ryser. 2(3), 3–22.‌

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