Lógica, Inferencia

1 Inferencia y Deducción

Hacer una inferencia en lógica matemática es que, a partir de un conjunto de premisas, o equivalencias lógicas, haciendo uso de ciertas reglas se puedan obtener conclusiones

A estas reglas se les llama reglas de inferencia y estas nos aseguran que de premisas verdaderas solo se obtienen conclusiones verdaderas.

A este proceso también se le conoce como demostración, y se dice que la conclusión se ha demostrado, o que se infiere de las premisas, o que las premisas implican el resultado. 

Para simbolizar esto, dado un conjunto de premisas 

$\left\{{𝑃}_{𝑖}\right\}$ que implican ($⊢$ ) la conclusión C, se pondrá:

$\left\{{𝑃}_{𝑖}\right\}⊢𝐶$

1.1 Reglas de inferencia

1.1.1 Introducción de la conjunción (IC)

Dadas las premisas o proposiciones

Proposición 1	$𝑃$
Proposición 2	$𝑄$
Conclusión	$𝑃\bigwedge 𝑄$

$\left\{𝑃,𝑄\right\}⊢𝑃\bigwedge 𝑄$

Ejemplos:

$1.-$

P1 $𝐴\to 𝐵$

P2 $𝐶$

C $\left(𝐴\to 𝐵\right)\bigwedge 𝐵$

$2.-$

P1 $𝑅\leftrightarrow 𝑆$

P2 $𝑊\bigwedge \neg 𝑇$

P3 $𝑍$

C$\left(𝑅\leftrightarrow 𝑆\right)\bigwedge \left(𝑊\bigwedge \neg 𝑇\right)\bigwedge 𝑍$

1.1.2 Simplificación. (S)

Es lo contrario de la regla anterior, pues si tenemos:

Proposición 1	$𝑃\bigwedge 𝑄$
Conclusión	$𝑃$

$\left\{𝑃\bigwedge 𝑄\right\}⊢𝑃$ también sucede que $\left\{𝑃\bigwedge 𝑄\right\}⊢𝑄\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$

Ejemplo:

P1 $\left(𝑃\bigwedge 𝑄\right)\bigwedge 𝑅$

C $𝑃\bigwedge 𝑄$

1.1.3 Adición. (A)

En esta regla dada una premisa se puede inferir una disyunción que incluya a esta como uno de sus miembros:

Proposición 1	$𝑃$
Conclusión	$𝑃\bigvee 𝑄$

$\left\{𝑃\right\}⊢𝑃\bigvee 𝑄$

1.1.1 Modus Ponendo Ponens

La primera y probablemente la más importante de todas es la que se conoce por su nombre en latín Modus Ponendo Ponens, que es el método (Modus) que afirma el consecuente (Ponens), afirmando el antecedente (Ponendo).

Esta regla se aplica a la forma de las proposiciones, siempre que se dé una proposición condicional y se tenga también el antecedente de esa condicional, se sigue precisamente el consecuente.

Proposición 1	$𝑃\to 𝑄$
Proposición 2	$𝑃$
Conclusión	$𝑄$

Practiquemos con unos ejemplos:

1.-

P1 $\left(𝑃\wedge 𝑄\right)\to 𝑅$

P2 $\left(𝑃\wedge 𝑄\right)$

C $𝑅$

2.-

P1 $\neg 𝑃\to 𝑄$

P2 $\neg 𝑃$

C $𝑄$

3.-

Podemos realizar inferencias mas complejas aplicando indicando en cada paso como se realizo

P1 $𝑅\to \neg 𝑇$

P2 $𝑆\to 𝑅$

P3 $𝑆$

C4 $𝑅$ aplicando Modus Ponendo Ponens (PP) en las premisas 2 y 3 (PP 2,3)

C5 $\neg 𝑇$ (PP 4,1)

1.1.2 Doble Negación (DN).

Para entender esta regla consideremos la siguiente proposición:

NO ocurre que Ana NO es una estudiante.

Despues de reflexionar se puede concluir que:

Ana es estudiante.

Expresado con la notación que hemos trabajado se tiene que:

Proposición 1	$𝑃$	$\neg \neg 𝑃$
Conclusión 2	$\neg \neg 𝑃$	$𝑃$

En algunos textos esta regla no se considera como tal pues es una equivalencia logica y al usarse solo se indica la sustitucion de una proposicion por esta equivalencia.

$𝑃$	$\neg 𝑃$	$\neg \neg 𝑃$
$1$	0	1
0	1	0

es decir $𝑃\equiv \neg \neg 𝑃$