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En las matemáticas intermedias y superiores hace su aparición el símbolo de sumatoria, (Sigma mayúscula) que es una letra del alfabeto griego.

Esta letra representa la suma de cierta sucesión de números, a estos se les llaman sumandos, y pueden ser una cantidad finita o infinita, pero para los fines de esta entrada solo abordaremos la situación en la que tenemos un numero finito de sumandos y algunas de sus propiedades.

Normalmente se ponen subíndices arriba y abajo del símbolo que nos indican en donde empezar y terminar.

Supongamos que tenemos la siguiente sucesión, y queremos sumarlos todos.

es decir:

Haciendo uso del símbolo sumatorio tenemos que:

Con este manejo de subíndices tenemos 2 casos extremos que hay que tomar en cuenta.

El primero es cuando solo sumamos un término, y el segundo es cuando sumamos k unos.

Veamos ahora las siguientes propiedades, que no son todas las que hay, pero si las más importantes, y con las que seguramente se pueden demostrar otras más.

1.- Multiplicación por escalares.

2.- Un rápido corolario.

3.- Abre sumas y restas.

4.- Translación de los índices.

5.-Particion de la suma

6.- Conmutatividad de Sumatorias

7.- Asociatividad de la sumatoria.

Series aritméticas 

Definición. - Una sucesión de números (en general enteros), tales que la diferencia entre cualesquiera dos de ellos que sean contiguos es constante, se conoce como sucesión aritmética 

Ejemplos. -

*) Probablemente una de las sucesiones aritméticas más comunes es:

1,2,3,4,5,6,...pues la diferencia entre 2 números consecutivos es 1.

que podemos expresar de manera compacta como:

{i}=1,2,3,...,i,i+1,...n,n+1...

y  i+1-i=1

**) 2,5,8,11,....

{2+3(i-1)}=2,5,...,2+3(i-1),2+3i,...

con (2+3i)-(2+3(i-1))=3

Lo que queremos ahora es encontrar la suma de un numero finito de números consecutivos de una serie aritmética con termino general dado por: {a+k(i-1)}

Para esto utilizaremos el método que se dice utilizo el pequeño Carl Gauss cuando en la primaria su maestro le dio la tarea de sumar los n primeros números (aquellos del primer ejemplo) y llego en unos cuantos minutos a la formula, que resolvía, el problema planteado y mas

Esto es:

    S=1+2+3+....+100

pero también

    S=100+99+98+...+1

Sumando termino a termino

    2S=101+101+101+...+101

    2S=100(101)

    S=((100(101))/2)= 5050

De manera general tendríamos que:

Y de aquí se obtiene que:

Hemos demostrado entonces que:

Teorema. - La suma de n términos consecutivos de una serie aritmética está dada por:

la suma de los primeros n primeros términos de una sucesión aritmética es igual a n por la suma del primer término y el ultimo termino, entre dos.

Ejemplo. -

Dadas las sucesiones de pares e impares, la suma de los n primeros términos es muy fácil de calcular

Ejemplo. -

Cualquier sucesión de múltiplos de algún número son también una sucesión aritmética

lion
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Para finalizar esta entrada tan educativa, solo resta por decir que tenemos nuevas fotos en FLICKR Monopuerco

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