Polinomios de segundo grado () y Stormy Daniels

En general la búsqueda de ceros (o raíces) de los polinomios de segundo orden, está íntimamente ligado con métodos de factorización, y antes de presentar el método general que sería la formula del "chicharronero", se enseñan otros métodos como, por ejemplo:

$𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐=0$

queremos factorizarlo de la forma:

$𝑎\left(𝑥-𝛼\right)\left(𝑥-𝛽\right)=0$ donde $𝛼,𝛽$ son los ceros (raíces del polinomio)

igualando ambos términos y haciendo algunas manipulaciones algebraicas obtenemos que:

$𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎\left(𝑥-𝛼\right)\left(𝑥-𝛽\right)$

$𝑎\left({𝑥}^2+\frac{𝑏}{𝑎}𝑥+\frac{𝑐}{𝑎}\right)=𝑎\left({𝑥}^2-\left(𝛼+𝛽\right)𝑥+𝛼𝛽\right)$

es decir que

$\frac{𝑏}{𝑎}=-\left(𝛼+𝛽\right)$ y $\frac{𝑐}{𝑎}=𝛼𝛽$

hemos demostrado entonces el siguiente

Teorema:

Los ceros de un polinomio de segundo grado cumplen con que el negativo de su suma es el coeficiente del término lineal y su multiplicación es la constante

En general este método es muy útil cuando el termino cuadrático a es 1, veamos los siguientes ejemplos

1) Dado  ${𝑛}^2+43𝑛+432$ tenemos que $43=-\left(𝛼+𝛽\right)$ y $432=𝛼𝛽$

obtengamos todos los divisores de 432

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 108, 144, 216

haciendo una rápida inspección nos damos cuenta de que

27+16=43 y 27*16=432

es decir que $𝛼=-16$ y $𝛽=-27$

${𝑛}^2+43𝑥+432=\left(𝑛+16\right)\left(𝑥+27\right)$

2) ${𝑐}^2-4𝑐-320$ luego

$-4=-\left(𝛼+𝛽\right)$ y $-320=𝛼𝛽$

Los divisores de 320 son: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160}

20-16=4 y 20*(-16)=320

$𝛼=20$ y $𝛽=-16$

${𝑐}^2-4𝑐-320=\left(𝑐+20\right)\left(𝑐-16\right)$

También haciendo uso de este resultado, podemos encontrar el valor de los coeficientes.

Ejemplo 1)

Sabemos que $𝑝{𝑥}^2-15𝑥+9=0$ tiene dos raices reales y que $𝛼=4𝛽$ encontrar el valor de $𝑝$

Recordemos que$-\frac{15}{𝑝}=-\left(𝛼+𝛽\right)$ y $\frac{9}{𝑝}=𝛼𝛽$

entonces:

* $-\frac{15}{𝑝}=-\left(𝛼+𝛽\right)$

$\frac{15}{𝑝}=5𝛽$ $\to \frac{3}{𝑝}=𝛽$

** $\frac{9}{𝑝}=𝛼\frac{3}{𝑝}\to 𝛼=3$

de * y **

$3=4\frac{3}{𝑝}\to 𝑝=4$

Ejemplo 2)

Dado la ecuacion $𝑝{𝑥}^2-13𝑥+6=0$ que tiene dos raices reales $𝛼$ y $𝛽$ que cumplen que $\frac{1}{𝛼}-\frac{1}{𝛽}=\frac{7}{6}$

encontrar el valor de $𝑝$

Partamos de $-\frac{13}{𝑝}=-\left(𝛼+𝛽\right)$ y $\frac{6}{𝑝}=𝛼𝛽$

* $\frac{1}{𝛼}+\frac{1}{𝛽}=\frac{𝛼+𝛽}{𝛼𝛽}$ =$\frac{\frac{13}{𝑝}}{\frac{6}{𝑝}}=\frac{13}{6}$

$\frac{1}{𝛼}-\frac{1}{𝛽}=\frac{7}{6}$

$\frac{1}{𝛼}+\frac{1}{𝛽}=$ $\frac{13}{6}$

$\frac{2}{𝛼}=\frac{20}{6}$

$\to 𝛼=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

**

$\frac{1}{𝛼}-\frac{1}{𝛽}=\frac{7}{6}$

$-\frac{1}{𝛼}-\frac{1}{𝛽}=$ -$\frac{13}{6}$

$-\frac{2}{𝛽}=\frac{-6}{6}$

$\to 𝛽=2$

de * y **

$\frac{6}{𝑝}=𝛼𝛽=\frac{6}{5}\to 𝑝=5$

Y para cerrar, presentamos una mini galería de Stephanie A. Gregory oriunda de Baton Rouge, Luisiana, U.S., mejor conocida en el medio artístico como Stormy Daniels.

Nació el 17 de mayo de 1977 y sus primeros trabajos como actriz los realizo en las firmas Sin City y Wicked Pictures, en 2002