La conjetura de Sheldon

En el episodio 10 de la temporada 4 de "The Big Bang Theory " Sheldon Cooper, que es uno de los personajes principales del show durante un dialogo con sus compañeros expone algunas de las propiedades del número 73, argumentando que es el mejor de los números. Un dato curioso es que este es el episodio 73, si no hacemos distinción entre las temporadas.

Retomando el tema las bases de Sheldon sobre esta afirmación son las siguientes:

1.- 73 es el vigésimo primer número primo (21)

2.- 37 que es el numero reflejado es el décimo segundo número primo (12)

3.- Notemos que 21 y 12 son números reflejados

4.- Si multiplicamos los dígitos de 73 obtenemos 7x3=21

las cuales son claramente ciertas, esto nos lleva a preguntarnos si 73 es el único número que cumple con estas propiedades.

Antes de plantear lo que llamaremos la conjetura de Sheldon, demos forma matemática a las hipótesis que queremos 

Definición. - Sea n un natural entonces p(n) es el enésimo primo

Para fijar ideas veamos el siguiente 

Ejemplo:

p(2)=3

p(10)=29

p(12)=37

p(140)=809

Definición. - Dado x un numero natural diremos que su espejo es el número que se obtiene al escribir en orden reverso sus dígitos y lo denotaremos como m(x)

Ejemplo:

Sea x=1245 entonces m(x)=5421

x=1010 entonces m(x)=0101=101

x=113311 entonces m(x)=113311

Definición. - Un numero n se dice que es palindrómico si m(n) = n

Ejemplos. - n = 1221 se tiene que m(1221) = 1221

Cualquier número del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9} es palindrómico

Observaciones. - Notemos que p(n) siempre es un numero primo, pero m(p(n)) no tiene por qué serlo, aunque p(n) lo sea

Tomemos n = 9 entonces p(9)=23 que es primo, pero m(p(9)) = m(23) =32, no lo es pues 2*2*2*2*2=32

Ya con estos conceptos podemos ahora presentar la siguiente propiedad:

Definición: Propiedad especular

decimos que el enésimo primo p(n) tiene la propiedad especular sii m(p(n)) = p(m(n))

Observación. - Notemos que m(p(n) y p(m(n)) son ambos números primos

Ejemplo: Debe de ser claro que el numero primo 73 cumple la propiedad pues:

Antes de seguir desarrollando el tema principal, y como practica para entender un poco más la propiedad especular, hagamos el ejercicio de demostrar este curioso teorema.

Teorema. - Si n y p(n) son ambos palindrómicos entonces p(n) cumple la propiedad especular

Demostración. - 

Hemos visto entonces ejemplos y condiciones para que la propiedad especular se cumpla, pero es también importante saber cómo identificar algunos números que NO la llegan a satisfacer.

Cualquier número primo que empiece con 2,4,6 y 8 no puede satisfacer la propiedad ya que su espejo terminaría con estos números, por lo que sería divisible entre 2, por lo tanto, ya no sería primo.

Ejemplos. -

p(47) = 211, pero m(211) = 112 y 56*2

p(851) = 6577, pero m(6577) = 7756 y 3878*2

Entendiendo ya lo que es la propiedad especular y algunas de sus características, podemos ahora preparar el terreno para la siguiente propiedad con la siguiente:

Notemos que si el numero "x" tiene algún digito igual a cero entonces 

Definición. - Propiedad del producto

Dado un numero natural n, decimos que p(n) tiene la propiedad del producto sii

Encontrar otro número con esta propiedad no es tan fácil pues al ir creciendo el número de dígitos es más probable que uno de ellos sea cero, hagamos a continuación un rápido calculo, para darnos cuenta de esta situación.

Gráficamente esto se vería de la siguiente manera:

Lo que nos indica que los candidatos que tienen la propiedad del producto son escasos, mientras más dígitos tengan, por cierto, después del 73 el siguiente número con esta propiedad es 

Con el material expuesto podemos dar la siguiente 

Definición. - Primos de Sheldon

Un primo de Sheldon es aquel que cumple la propiedad especular y la propiedad del producto

Y por fin sin ambigüedades de una manera sencilla enunciamos la siguiente:

Conjetura. - El único primo de Sheldon es el numero 73

Demostrar la veracidad de esta conjetura no es una tarea fácil, pero lo que si podemos decir de manera inmediata con los conceptos y definiciones vistos hasta ahora es que la existencia de números que cumplan la propiedad del producto y la propiedad especular debe de ser muy escasa y al menos de un orden mayor o igual a 10⁷

 Referencias

* Fermat’s Library | The Sheldon Conjecture annotated/explained version. (2019). Fermat’s Library. https://fermatslibrary.com/s/the-sheldon-conjecture

‌** “PrimePage Primes: The Nth Prime Page.” T5k.org, 2024, t5k.org/nthprime/